گروهی از ریاضیدانان پس از ۱۵ سال کار، موفق به طراحی مجموعهای از پنج تاس ۶۰ وجهی شدهاند که قادر است ترتیب نوبت بازیکنان را به شکلی کاملاً منصفانه تعیین کند، بدون اینکه احتمال تکرار نتیجه یا تساوی وجود داشته باشد.
ماجرای این تاسها حدود سال ۲۰۱۰ در یک مهمانی شام دوستانه در حاشیه یک همایش بازی آغاز شد. جیمز ارنست، طراح بازیهای رومیزی، از دوستش اریک هارشبرگر پرسید: آیا میتوان مجموعهای از تاسها را ساخت که در هر گروهی از بازیکنان، از دو نفر تا بیشتر، هر فرد یک تاس بردارد، آن را بیندازد و شانس کاملاً یکسانی برای برنده شدن داشته باشد؟
قانون بازی ساده بود: هرکس عدد بالاتری بیاورد، نفر اول میشود. اما چالش اصلی این بود که این عدالت باید برای هر تعداد بازیکن حفظ شود؛ بدون تساوی و بدون نیاز به پرتاب مجدد.
هارشبرگر، ریاضیدان دانشگاه اوبرن در آلاباما، در آن شب پاسخی نداشت. اما این پرسش ذهنش را درگیر کرد و در طول ۱۵ سال بعد، به همراه همکارانش به صورت غیررسمی روی آن کار کرد.
اکنون دانشمندان سرانجام به پاسخ دست یافتهاند: پنج تاس ۶۰ وجهی که مجموعاً تمام اعداد یک تا ۳۰۰ را بدون تکرار روی خود دارند. هارشبرگر برای نمایش این دستاورد، پنج نمونه بزرگ چوبی از این تاسها ساخت. هر یک از چوب متفاوتی ساخته شدهاند و اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه اوبرن به نمایش گذاشته شدهاند.
چرا ساختن تاس منصفانه دشوار است؟
در نگاه اول، حل این مشکل ساده به نظر میرسد؛ شاید فکر کنیم کافی است روی هر وجه تاس عددهای متفاوتی بنویسیم تا نتایج تکراری نشوند. اما مسئله اصلی چیز دیگری است. هارشبرگر میگوید: «مشکل واقعی این است که این اعداد را چگونه پخش کنیم تا هر ترکیبی از بازیکنان، شانس برابر داشته باشد.»
تاسهای ساختهشده حتی کل ترتیب بازیکنان را نیز به صورت کاملاً تصادفی و عادلانه مشخص میکنند.
فرض کنید پنج تاس داریم و پنج نفر میخواهند بازی کنند. هر نفر یک تاس برمیدارد و میاندازد. اما اگر فقط سه نفر بازی کنند چه؟ یا هشت نفر؟
تاسها باید طوری طراحی شوند که در هر حالت، هیچ بازیکنی نسبت به دیگری برتری نداشته باشد. یعنی مهم نیست چه تعداد نفر بازی میکنند یا چه تاسی به هر فرد میرسد؛ احتمال برنده شدن باید همیشه برابر بماند.
از سه تاس ساده تا پنج تاس پیچیده
هارشبرگر برای حل مسئله از رابرت فورد، ریاضیدان کالج ایالتی دالتون و دوست دوران کودکیاش، کمک گرفت. آنها چند هفته بعد توانستند نخستین راهحل را پیدا کنند: سه تاس ششوجهی که اعداد یک تا ۱۸ به شکل خاصی روی آنها قرار گرفته بود و میتوانستند برای سه بازیکن کاملاً منصفانه عمل کنند. فورد بعداً با محاسبات دستی نشان داد چهار تاس ۱۲ وجهی نیز میتوانند چهار بازیکن را به طور عادلانه پوشش دهند.
تا سال ۲۰۱۲، هارشبرگر درباره این مجموعه چهار تایی در کنفرانسهای ریاضی صحبت میکرد و حتی رسانهها نیز درباره آن نوشتند. پس از آن، افراد زیادی به اتومبیل این پروژه علاقهمند شدند. هارشبرگر مدتی مجموعههای دستساز از این تاسها تولید و از خانه برای خریداران سراسر جهان ارسال میکرد.
اما در ادامه، ریاضیدانان متوجه شدند این تاسها کاری فراتر از تعیین نفر اول انجام میدهند. آنها فقط مشخص نمیکنند چه کسی برنده میشود؛ بلکه کل ترتیب بازیکنان را نیز به صورت تصادفی و کاملاً برابر تعیین میکنند. برای مثال، اگر چهار نفر بازی کنند، احتمال اینکه ترتیب نتیجه A، B، C، D باشد، دقیقاً با احتمال هر ترتیب دیگری مثل C، B، D، A برابر است.
به همین دلیل، نام «تاسهای تعیینکننده نفر اول» چندان دقیق نیست؛ این تاسها علاوه بر مشخص کردن نفر اول، ترتیب همه بازیکنان را نیز تعیین میکنند و هر ترتیب ممکن شانس یکسانی دارد. به این ویژگی «انصاف جایگشتی» گفته میشود.
جستوجویی بزرگتر از تعداد اتمهای جهان
حل مسئله پنج بازیکن بسیار دشوارتر بود. از نظر ریاضی مشخص بود که چنین مجموعهای از تاسها باید وجود داشته باشد، اما پیدا کردن آرایش درست اعداد تقریباً غیرممکن به نظر میرسید.
پنج تاس ۶۰ وجهی در مجموع ۳۰۰ وجه دارند و پیدا کردن جای درست اعداد روی آنها، با حدود ۱۰ به توان ۱۲۸ حالت ممکن، مسئله محاسباتی عظیمی بود.
هارشبرگر میگوید تعداد حالتهای ممکن برای چیدمان اعداد بیشتر از تعداد اتمهای موجود در جهان است. به گفته او، تعداد ترکیبها چیزی در حدود «۱۰ به توان ۱۲۸» است (تعداد کل ترکیبهای ممکن برای توزیع اعداد روی ۵ تاس ۶۰ وجهی) و این عدد آنقدر بزرگ است که حتی با قدرتمندترین کامپیوترها و الگوریتمهای امروزی هم نمیتوان همه آنها را بررسی کرد.
بنابراین، آنها نمیتوانستند فقط با قدرت محاسباتی مسئله را حل کنند. باید الگوها و تقارنهایی پیدا میکردند که فضای جستوجو را کوچکتر کند.
سالها تلاش ادامه پیدا کرد، اما هر راهحل مشکلی نیز داشت. بعضی تاسها بیش از حد بزرگ بودند یا تعداد وجههایشان برای ساخت واقعی زیاد میشد. هدف هارشبرگر فقط پیدا کردن پاسخ روی کاغذ نبود. او میخواست تاسی ساخته شود که واقعاً بتوان آن را در دست گرفت، پرتاب کرد و حتی برای بازیهای رومیزی تولید کرد.
در اواسط سال ۲۰۲۳، پل مایر، مهندس نرمافزار کانادایی، به هارشبرگر ایمیل زد. مایر در حال بررسی الگوهای موجود در دادههای مربوط به چهار تاس قبلی بود و برنامهای نوشته بود که میتوانست از این الگوها استفاده کند. او انتظار نداشت برنامه فوراً جواب بدهد. اما برنامه موفق شد.
مایر توانست آرایش پنج تاس ۶۰ وجهی را پیدا کند که تمام شرایط را برآورده میکرد. هارشبرگر پس از بررسی نتیجه گفت: «با خودم گفتم: باورکردنی نیست. مدت خیلی طولانی دنبال این بودیم و حالا جواب پیدا شده است.»
از مسئلهای ریاضی تا اثر هنری
مجموعه چهار تاس پیشتر توسط فروشگاههای تخصصی ریاضی در بریتانیا و آمریکا فروخته میشد، اما نسخه پنجتایی هنوز فقط یک ایده بود. پس از پیدا شدن راهحل نهایی، هارشبرگر تصمیم گرفت نسخههای بزرگ چوبی از این تاسها بسازد.